Teoria estensimetri: relazione tra variazione di resistenza elettrica e deformazione

Sottoponendo a trazione un conduttore filiforme si osserva sperimentalmente che la sua resistenza elettrica aumenta proporzionalmente alla trazione esercitata, viceversa in caso di compressione la resistenza elettrica diminuisce. Inoltre, se la deformazione non è eccessiva, la relazione tra variazione di resistenza e deformazione è lineare e reversibile. Si può quindi descrivere dal punto di vista teorico il fenomeno ricordando che la resistenza R di un conduttore filiforme è pari a:

(1.1)

dove rho è la resistività del materiale, l la lunghezza del conduttore, A l’area della sezione trasversale. Differenziando la (1.1) e dividendo per R si ottiene:

(1.2)

Nella somma, il termine Delta_rho/rho rappresenta la variazione relativa di resistenza dovuta alla deformazione, Delta_l/l è, per definizione, la dilatazione epsilon in direzione longitudinale del conduttore, Delta_A/A è pari alla variazione relativa di sezione di quest’ultimo. Nel caso di sezione circolare di diametro d si ha:

(1.3)

dove epsilon_t rappresenta la dilatazione in direzione trasversale. In condizioni di tensione uniassiale, applicata nella direzione longitudinale del conduttore, la deformazione trasversale è legata a quella longitudinale dalla relazione:

(1.4)

in cui v è il coefficiente di Poisson del materiale. Si ottiene lo stesso risultato anche nel caso di conduttore a sezione rettangolare di lati a e b:

(1.5)

Sostituendo nella (1.2) si ottiene:

(1.6)

Quest’ultimo risultato mostra quindi che la variazione relativa di resistenza è legata alla deformazione e alla variazione relativa di resistività, che a sua volta dipende dallo stato di deformazione. Sfruttando tale fenomeno si può pensare di realizzare un estensimetro elementare rendendo solidale (per esempio mediante incollaggio) il conduttore alla superficie della struttura in esame. Applicando il carico meccanico a quest’ultima, la variazione di resistenza del conduttore permette di valutare la deformazione sulla superficie dove il conduttore è applicato.

Si presentano due esigenze, di ordine pratico, in contrapposizione tra loro:

• La resistenza del conduttore deve essere sufficientemente alta per non assorbire troppa potenza elettrica (che provoca riscaldamento per effetto Joule) sotto la tensione di alimentazione necessaria per la misura, ciò comporta che la lunghezza sia elevata;
  
  
• La deformazione è, in generale, funzione del punto in cui la misuriamo e quindi la dimensione del conduttore deve essere ridotta al minimo affinchè la misura abbia valore locale.

I primi estensimetri (figura 1.1 a) erano formati da un filo deposto su una base cartacea e disposto a formare una serpentina, così da soddisfare entrambe le esigenze suddette. Gli estensimetri moderni (figura 1.1 b) sono ottenuti mediante fotoincisione di una griglia di materiale conduttore sostenuta da un supporto in materiale sintetico; il principale vantaggio di questa realizzazione è rappresentato dal fatto che i tratti trasversali della griglia (che evidentemente non si trovano nelle condizioni considerate per ricavare le formule precedenti) possono avere sezione maggiore e quindi minore resistenza elettrica, influenzando meno la misura, la costruzione risulta inoltre più robusta.

Figura 1: a) estensimetro a filo; b) estensimetro a griglia;

Si definisce fattore di taratura di un estensimetro il rapporto tra variazione relativa di resistenza e deformazione, in condizioni di tensione uniassiale:

(1.7)

Il fattore di taratura viene determinato sperimentalmente dai costruttori di estensimetri su campioni prelevati da ogni lotto produttivo. I valori tipici di K oscillano tra 2 e 4, poiché 1+2v vale circa 1.6 è evidente che la variazione di resistività dovuta alla deformazione è significativa. Nell’ambito delle misure estensimetriche per evitare di operare con numeri molto piccoli si usa abitualmente esprimere le deformazioni in micro_m/m invece che m/m, inoltre bisogna sottolineare che tali misure sono soggette ad errori soprattutto se si opera in condizioni di temperatura variabile, se non si tiene conto del coefficiente di sensibilità trasversale Kt dell’estensimetro e degli errori indotti dalla diversa resistenza dei cavi che costituiscono il ponte di misura.